Ressources pour les étudiants

Les items ci-dessous font parfois appel à youtube. Si vous souhaitez utiliser cette plateforme en vous soustrayant à son emprise éventuelle sur vous, vous pouvez utiliser les add-ons uBlock Origin et Unhook.

Le premier add-on bloque les publicités. Le second bloque les recommandations et donc leur effet "boulimie de vidéos qu'on n'a même pas demandées", ainsi que l'attitude semi-passive qui en résulte. L'add-on minimal généralise le principe de Unhook à de nombreuses autres plateformes. Voir également Newpipe pour les téléphones sous Android.

Pour progresser, il faut travailler. Et tant qu'à travailler, autant que nos efforts payent. Comment donc travailler efficacement ?

Pour ce faire, il ne s'agit pas de s'épuiser à la tâche mais de travailler son cours et les exercices — et ce non seulement de façon régulière mais aussi avec les bonnes méthodes. Mais que signifie travailler son cours ou les exercices ? Et quelles sont les bonnes méthodes ? Pas de problème, cette fiche de méthode est là pour vous guider. De façon générale, si vous hésitez entre une pratique active et une pratique passive, optez pour l'action.

Vous trouverez ici, en cliquant sur les liens correspondants, une méthode de mémorisation très efficace et un bilan scientifiquement étayé des différentes méthodes de travail : attention, certaines des méthodes les plus répandues sont inefficaces !

Ces conseils sont également disponibles au format vidéo ci-dessous.

De nombreux services (notamment médicaux, psychologiques...) sont proposés par Sorbonne Université.

Je signale également l'existence de Nightline, service d'écoute destiné aux étudiants. Ce site contient d'autres informations, dont un kit de vie sur la santé mentale.

L'état permet aux étudiants de bénéficier d'un accompagnement psychologique gratuit.

Enfin, cette page rassemble un certain nombre de numéros de téléphone auxquels vous pouvez téléphoner si vous avez des problèmes. Toute une gamme de problèmes est abordée, avec des numéros de téléphone dédiés.

Il n'y a pas de frontière nette entre le matériel que je veux proposer au grand public et celui que je conseille aux étudiants. Les étudiants apprécieront sûrement bon nombre des éléments que je liste dans la présente section Grand Public. Et inversement, en fouinant dans cette page de ressources au-delà de cette seule section Grand Public, les curieux des sciences (jeunes ou adultes) trouveront ici et là certaines ressources accessibles sans bagage mathématique préalable.

Ce préambule étant formulé, voici quelques recommandations scientifiques pour le grand public.

• Un site de visualisation des ordres de grandeur allant des atomes aux galaxies — et au-delà
• Le ballet des nombres
• Une présentation du système solaire réalisée par mes soins
• Études mathématiques
• CultureMATH
• Quanta Magazine
• Collégien, j'avais adoré Le Démon des maths.
• Le roman graphique Logicomix est remarquable. À la croisée des mathématiques, de la philosophie et de l'histoire, ce livre a réussi à séduire aussi bien les mathématiciens que le lectorat général.
• Hubert Reeves : Conteur d'étoiles — Poussières d'étoiles — Le Banc du temps qui passe
• Richard Feynman : The pleasure of finding things out — The character of physical law — Vous voulez rire, Monsieur Feynman — What do you care what other people think
• Leonhard Euler : Lettres à une princesse d'Allemagne
• Concernant la géologie, je recommande les conférences de Pierre Thomas (par exemple cet exposé fascinant à destination des collégiens), le site Planet Terre et les livres de Haroun Tazieff.
• De façon générale, les collections Que sais-je ? et Very short introductions sont remarquables.

Voici quelques sources d'exposés adaptés aux étudiants.

• Les Soirées Mathématiques de Lyon
• Mathematic Park
• Le séminaire Aromaths, à Sorbonne Université (exposés non filmés)
• Le Groupe Séminaire de l'ENS Lyon
• Les Cinq Minutes Lebesgue

Le mathématicien William Thurston a découvert qu'il existe exactement huit géométries fondamentales en dimension 3 : la géométrie euclidienne usuelle a donc sept frères et sœurs. Ces géométries sont d'habitude difficiles d'accès : puisqu'elles ne sont pas tangibles, on n'y accède que par des efforts conceptuels et calculatoires, qui requièrent ici des mathématiques avancées.

Cela a récemment changé ! Grâce au site 3-dimensional.space, il est désormais possible de se promener dans certaines de ces géométries. On peut donc se familiariser avec ces géométries par le biais des sens, ce qui est à la portée de tous — on ne comprend pas forcément grand chose mais « il y a quelque chose qui passe ».


Par ailleurs, vous trouverez ci-dessous deux superbes vidéos du Geometry Center. La première vidéo nous explique comment inverser l'intérieur et l'extérieur d'une « sphère magique ». La seconde, « Not knot », cherche à comprendre mathématiquement les nœuds. Le titre provient d'un point de vue surprenant : plutôt que de comprendre le nœud, on va chercher à comprendre tout ce qui n'est pas le nœud (on gagne quelque chose à étudier le complémentaire du nœud plutôt que le nœud lui-même).

Voici quelques jeux mathématiques.

• Euclidea, un jeu de géométrie dans le plan
• Lean Games, notamment un jeu sur les entiers naturels et un autre sur les ensembles
• Hex
• Turing Tumble
• Hexplode (jeu inspiré du tas de sable abélien)
• A slower speed of light
• 4D toys, pour jouer en dimension 4
• Le jeu de go

Dès la terminale ou la L1, je recommande En cheminant avec Kakeya. Dans une perspective fraiche et enthousiaste, les maths vous y sont présentées en même temps que leur histoire. Plutôt qu'un cours enchaînant définitions et théorèmes, le livre commence par énoncer un problème intrigant, d'apparence anodine mais profond. C'est afin d'y apporter des solutions de plus en plus fines que diverses notions mathématiques seront introduites. Ainsi, les mathématiques ne sont jamais séparées des problèmes qu'elles peuvent résoudre : le problème précède la théorie, à l'instar de certaines activités d'introduction peut-être rencontrées en lycée. Je conseille également la Very short introduction to mathematics de Timothy Gowers qui nourrira et approfondira votre regard sur l'activité mathématique (lecture possible dès la terminale mais qui reste parfaitement appropriée en licence ou en master).

Au niveau L2–L3, je recommande Raisonnements divins pour ses démonstrations élégantes et stimulantes.

Enfin, à partir du niveau M1–M2, je recommande Geometry and the imagination de Hilbert et Cohn-Vossen ainsi que l'excellent Princeton Companion to Mathematics. Le Princeton Companion est idéal pour s'initier à des domaines variés des mathématiques. Il est plutôt tourné vers les mathématiques fondamentales que vers les mathématiques appliquées. L'accent n'est pas mis sur la rigueur, la précision ou les définitions/théorèmes/démonstrations mais plutôt sur les motivations, la mise en perspective, les exemples, les questions ou les phénomènes mathématiques.

J'ai mentionné ci-dessus des ouvrages de mathématiques. En physique, je recommande les cours de Richard Feynman ainsi que le livre de vulgarisation La relativité, d'Albert Einstein.

Le blog de David Madore contient de nombreuses entrées de mathématiques, généralement en français. On y trouve aussi de la physique ou de l'informatique théorique. Voici par exemple trois entrées mathématiques de ce blog accessibles au niveau fin de L2 : compter au-delà de l'infini — la magie du nombre 6 — le lemme de Higman.

Il y a plein de choses passionnantes, tant en maths qu'en physique, sur le site de John Baez, en anglais : il suffit de scroller et de voir défiler plein d'images intéressantes ou de mots intrigants ! Mention spéciale à son formidable cours de théorie des catégories appliquée : chaque leçon vous apprendra quelque chose de sympa donc si vous vous arrêtez après 4 leçons, vous aurez appris 4 choses intéressantes. C'est un cours d'un enthousiasme contagieux qui commence par revisiter des mathématiques élémentaires avec un point de vue nouveau, très conceptuel et assez fascinant... L'enjeu du cours sera alors de déployer ce point de vue à fond et d'en cerner la portée pratique, par exemple en gestion de ressources ou pour les bases de données. Si jamais vous souhaitez avancer loin dans ce cours, il est indispensable de chercher les puzzles — sinon, on se retrouve à coincer assez vite. Donc réciproquement, si vous lisez ce cours mais finissez par coincer, le remède est probablement de chercher tous les puzzles des leçons vues depuis le début jusqu'au point de blocage.

Enfin, je mentionne le blog de Terence Tao, en anglais. Voici quelques entrées accessibles sur son blog : la mécanique quantique expliquée par référence à Tomb Raider — l'énigme des iliens aux yeux d'azur — quand courir si on a un tapis roulant sur son trajet — visualiser la théorie des groupes.

Voici quelques sources de vidéos scientifiques. Je ne mentionne pas à nouveau celles déjà évoquées autre part sur cette page de ressources.

• Science Étonnante (par exemple qu'est-ce qu'une couleur ?)
• 3blue1brown
• Canal-u.tv (voir par exemple les conférences de l'Institut d'Astrophysique de Paris ou cette histoire des mesures de la vitesse de la lumière)
• Øljen
• Scientia Egregia

Réfléchir à de bons problèmes est un très, très bon terreau mathématique (ne pas hésiter à traiter des cas particuliers, à modifier le problème...). Si jamais certains parmi ceux ci-dessous vous titillent, laissez-vous tenter. Un bon problème est un compagnon : passer de bons moments avec lui peut créer de chaleureux souvenirs. Vous pouvez réfléchir de façon solitaire mais aussi à plusieurs — de façon différente, les deux sont très bien.


A    Prenez un damier 100 par 100 et enlevez deux cases correspondant à deux coins diagonalement opposés. Est-il possible de totalement recouvrir (sans chevauchement) ce damier par des dominos de taille 2 par 1 ?


B    On a besoin d'un volume d'eau tiède mais — malheur — on s'est versé un volume d'eau chaude. On a accès à de l'eau chaude, de l'eau froide et de l'eau tiède et on conviendra, pour éviter tous calculs savants, que mélanger en quantité égale eau froide et eau chaude donne de l'eau tiède. Que doit-on faire ? La réponse peut dépendre du contexte.


C    L'énigme des fourmis auto-tamponneuses. Ne surtout pas regarder la section « Réponse à l'énigme » tant que vous n'avez pas cherché à fond le problème !


D    Nous sommes N autour d'une table et tout le monde voit le front de tout le monde sauf de lui-même. Chacun a sur le front un nombre entier entre 1 et N et doit faire secrètement une prédiction. Trouver une stratégie pour que, à coup sûr, au moins une personne devine correctement son numéro. (On se met tous d'accord sur notre stratégie puis on se met à table et les numéros nous sont attribués.)


E    Voici un jeu à trois joueurs. Ceux-ci peuvent convenir, une fois les règles du jeu présentées, d'une stratégie. Puis, ils se taisent. Chacun se fait attribuer à pile ou face un chapeau noir ou blanc. Chaque joueur voit les chapeaux des deux autres mais pas le sien. Ils votent ensuite en secret soit « je passe », soit « j'ai un chapeau noir », soit « j'ai un chapeau blanc ». L'équipe gagne si au moins une personne n'a pas passé et tous ceux qui n'ont pas passé ont raison. Existe-t-il une stratégie permettant à l'équipe de gagner avec une probabilité strictement plus grande que 50% ?


F    Existe-t-il une fonction continue de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) qui envoie tout rationnel sur un irrationnel et tout irrationnel sur un rationnel ?


G    On dispose d'une gourde de potion magique. La gourde étant elle-même magique, on peut y boire de façon illimitée. Par défaut, on court à 10 km par heure. Pour chaque tranche de 10 secondes, on a le choix entre boire une gorgée de potion magique ou courir 10 secondes. Chaque gorgée double notre vitesse pour toute la suite de la course. Quelle stratégie adopter pour aller le plus loin possible le plus vite possible ?


H    Deux nombres réels distincts \(x\) et \(y\) sont choisis à votre insu et placés chacun dans une enveloppe. Vous piochez totalement au hasard l'une de ces deux enveloppes et prenez connaissance du nombre qu'elle renferme. Vous devez alors parier soit qu'il s'agit du plus grand des deux nombres, soit du plus petit des deux. Trouvez une stratégie qui, quelles que soient les valeurs de \(x\) et \(y\), vous permet de gagner avec une probabilité strictement supérieure à 50%. On pourra commencer par traiter le cas où \(x\) et \(y\) sont choisis dans \(\{1,2,3\}\), puis dans \(\{1,2,3,4\}\), puis dans \(\{1,2,...,1000\}\), puis \(\mathbb{N}\), puis \(\mathbb{Z}\) et enfin \(\mathbb{R}\).


I    L'énigme des iliens aux yeux d'azur.


J    Trouver une partie \(P\) du plan euclidien et une isométrie \(\varphi\) telles que \(\varphi(P)\) soit strictement inclus dans \(P\). Est-ce possible avec une partie \(P\) bornée ?


K    L'énigme des cent prisonniers. Fermer la vidéo à 3 minutes 20, lorsque Christophe Ritzenthaler annonce qu'il s'apprête à donner la solution.


L    Trouver quelques propriétés intéressantes qui sont vérifiées par l'ensemble vide et par tous les ensembles infinis mais par aucun ensemble fini non vide. Cela suggère qu'il ne serait pas tout à fait absurde d'envisager une convention pour le mot « infini » où l'ensemble vide (ou le nombre zéro) serait dit infini. Toutefois, cette convention aurait un certain nombre de désavantages — notamment le fait qu'une partie d'un ensemble fini ne serait pas nécessairement finie.


M    On reprend le jeu de cette énigme avec sept joueurs au lieu de trois. Existe-t-il une stratégie permettant à l'équipe de gagner avec une probabilité strictement plus grande que 80% ?


N    Se renseigner sur le problème de la belle au bois dormant et se faire un avis réfléchi à ce sujet.


O    Trouver trois ouverts connexes non-vides du plan euclidien tels que tout point à la frontière de l'un d'entre eux soit également à la frontière de chacun des deux autres. Est-ce possible avec une infinité dénombrable d'ouverts ?


P    Soit \(s\) un réel. On suppose que pour tout entier \(n\ge1\), le nombre \(n^s\) est entier. Le nombre \(s\) est-il nécessairement un entier naturel ?


Q    On se donne une partie \(P\) de \(\mathbb{R}^2\) et une fonction \(r\) de \(P\) vers \(]0,∞[\). On suppose que, lorsque \(x\) parcourt \(P\), les boules ouvertes de centre \(x\) et de rayon \(r(x)\) sont deux à deux disjointes. Est-il nécessairement le cas que l'union, lorsque \(x\) parcourt \(P\), des boules fermées de centre \(x\) et de rayon \(r(x)\) est différente de \(\mathbb{R}^2\) ?


R    Voici une énigme où l'on cherche à faire de la divination en recourant à l'axiome du choix.


S    Les mathématiciens aussi font des rêves et des cauchemars. Dans ce cauchemar, un monstre vous laisse choisir votre position initiale dans le plan, avec pour seule contrainte d'être à distance au plus 1 000 kilomètres de lui-même. Une fois le chronomètre lancé, vous pouvez courir à votre guise, à 40 kilomètres par heure, sans vous fatiguer (vous pouvez choisir pour trajectoire n'importe quelle fonction 40-lipschitzienne à valeurs dans le plan et commençant à distance au plus 1 000 du monstre). Le monstre a le superpouvoir de n'avoir aucune contrainte de vitesse — la fonction qui à un instant associe sa position peut être n'importe quelle fonction continue. Ce superpouvoir a un prix : le monstre est aveugle. Ainsi, sa trajectoire doit être choisie sans avoir connaissance ni de votre point de départ, ni du reste de votre trajectoire. Pourtant, le monstre a une stratégie pour vous manger à coup sûr moins d'une seconde après le début du jeu. Comment est-ce possible ?
    Précision : le monstre nous mange à un instant si, à cet instant, sa position et la nôtre sont rigoureusement identiques. Ce problème admet des variantes moins ardues. Vous pouvez permettre au monstre de se téléporter, levant la contrainte de continuité initialement imposée à sa trajectoire. Une alternative est de « ligoter » le joueur, lui interdisant donc de se déplacer. Ou encore, vous pouvez effectuer simultanément les deux modifications.


T    Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{N}^3\). On note \(f\), \(g\) et \(h\) les projections respectivement sur \(\{0\}\times \mathbb{N}\times \mathbb{N}\), sur \(\mathbb{N}\times\{0\}\times \mathbb{N}\) et sur \(\mathbb{N}\times \mathbb{N}\times\{0\}\). Notant \(|X|\) le cardinal de \(X\), l'inégalité \(|f(A)|\times|g(A)|\times|h(A)|\geq|A|^2\) est-elle toujours valide ? Autrement dit, « le produit des superficies des ombres est-il toujours supérieur ou égal au carré du volume ? »

Saviez-vous que cette section n'est pas listée dans le sommaire ? Et que la raison d'être de cette section est de vous avertir que, inversement, certains items du sommaire ne sont pas atteignables en scrollant par ici ? En effet, Images des maths, Dimensions, Chaos et Maths en ligne sont des liens externes.

Et allez, en bonus, ici et là quelques chansons !